Question

【题目】已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；

（3）我们定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1、x2（x1＞x2），满足2＜＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有两个“梦想根”，求k的范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）1（3）﹣＜k＜-或﹣3＜k＜﹣2

【解析】

试题分析：（1）根据方程的判别式，可得答案；

（2）根据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；

（3）根据方程的梦想根，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

试题解析：（1）关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0，

a=k，b=﹣（k﹣1），c=﹣1，

△=b2﹣4ac=[﹣（k﹣1）]2﹣4k（﹣1）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，

关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有两个实数根；

（2）关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0，

x1=，x2=，

方程的两个实数根互为相反数，得

x1+x2=+=0，

即=0，

解得k=1，

当k=1时，此方程的两个实数根互为相反数；

（3）当k＞0时，x1=1，x2=﹣＜0，不符合题意；

当﹣1≤k＜0时，x1=﹣，x2=1，2＜＜3，得，

解得﹣＜k＜-；

当k＜﹣1时，x1=﹣，x2=1，由2＜＜3，得2＜﹣k＜3，

解得﹣3＜k＜﹣2不符合题意舍去，

综上所述：于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有两个“梦想根”，k的范围是：

﹣＜k＜-或﹣3＜k＜﹣2．