Question

【题目】如图1，点为直线AB上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为_______度.

(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在的内部.试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；

(3)在上述直角三角板从图1开始绕点O按每秒的速度逆时针旋转的过程中， 是否存在所在直线平分和中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）90；（2）∠AOM∠NOC＝30°，理由见解析；（3）存在，2秒或5秒或8秒．

【解析】

（1）根据旋转的性质可知，旋转角为∠MON；
（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件：∠AOC：∠BOC＝1：2，求得∠AOC＝60°，然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM∠NOC＝30°；
（3）需要分类讨论：当OM平分∠BOC时，旋转角是60°；当ON平分∠AOC时，旋转角为240°．

解：（1）根据旋转的性质可知：
旋转角为∠MON＝90°．
故答案为:90．
（2）

如图3：∠AOM∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠AOC＋2∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AON＋∠CON＝60°，①
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，②
②①，得∠AOM∠CON＝30°．

（3）
如图4，当OM平分∠BOC时，ON所在直线平分∠AOC，
∠BOM＝60°，
∴三角板绕点O逆时针旋转60°，
此时t＝60÷30＝2（秒）；
如图5，当ON平分∠AOC时，OM所在直线平分∠BOC，
∠CON＝30°，
∴三角板绕点O逆时针旋转240°，
此时t＝240÷30＝8（秒）．
当OM旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．
答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．