Question

【题目】如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3（2＜m≤6）；（3）当m=时，MN最小=．

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积．（3）先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值．

试题解析：（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），

∴点C的横坐标为4，BC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD=BC=4，

∵A（2，6），

∴D（6，6），

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，

∵点D在此抛物线上，

∴6=a（6﹣2）2+2，

∴a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，

（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）

∴E（，3），

∴BE=，

∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3

∵点F（m，6）是线段AD上，

∴2≤m≤6，

即：S=m﹣3（2≤m≤6）．

（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直线AC解析式为y=﹣x+9，

∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P

∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）

∴PN=m，PM=﹣m+9，

∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，

∴∠MPN=90°，

∴MN===

∵2≤m≤6，

∴当m=时，MN最小==．