Question

【题目】请完成下列的相似测试．

如图，在△ABC中，AB=AC=4，D是AB上一点，且BD=1，连接CD，然后作∠CDE=∠B，交平行于BC且过点A的直线于点E，DE交AC于点F，连接CE．

（1）求证：△AFD∽△EFC；

（2）试求AEBC的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AEBC=4．

【解析】试题分析：（1）证明△AEF∽△DCF，从而可得，再根据∠AFD=∠EFC，即可证明△AFD∽△EFC；

（2）证明△ACE∽△BCD，从而可推得AEBC=BDAC，再根据AC=4，BD=1，即可得AEBC=4．

试题解析：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

又∵∠CDE=∠B，

∴∠CDE=∠ACB，

∵AE∥BC，

∴∠ACB=∠CAE，

∴∠CDE=∠CAE，

又∵∠AFE=∠DFC，

∴△AEF∽△DCF，

∴，即，

又∵∠AFD=∠EFC，

∴△AFD∽△EFC；

（2）∵△AFD∽△EFC，

∴∠ACE=∠ADF，

又∵∠ADF+∠BDC=180°﹣∠FDC，∠BCD+∠BDC=180°﹣∠B，

而∠CDE=∠B，

∴∠ADF=∠BCD，

∴∠ACE=∠BCD，

又∵∠B=∠ACB=∠CAE，

∴△ACE∽△BCD，

∴，即AEBC=BDAC，

∵AC=4，BD=1，

∴AEBC=1×4=4．