Question

【题目】阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中均为整数），则有 ．

∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得 ＝　 　，＝　 　；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；

（3）若，且均为正整数，求的值．

【答案】（1）；；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或13

【解析】分析：（1）由a+b=(m+n)2，展开比较系数可得答案；

（2）取m=1，n=1，可得a和b的值，可得答案；

（3）由题意得m和n的方程，解方程可得m和n，可得a值．

详解：（1）∵a+b=(m+n)2，

∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m2+3n2，b=2mn．

故答案为：m2+3n2，2mn．

（2）设m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．

故答案为4、2、1、1．

（3）由题意，得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．

点睛：本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．

【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，

□ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．

（1）若点D点纵坐标为t，则C点纵坐标为 （含t的代数式表示），k的值为 ；

（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；

（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，连接FN，当T在AF上运动时，试判断∠ATH与∠AFN之间的数量关系，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）t-3，6；（2）（1，6），（0，9）；；（-1，-6），（0，-9）；（-1，-6），（0，3）；（3）∠ATH+∠AFN=135°．

【解析】分析：（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；

（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．

详解：（1）∵，且∴a+1＝0,a+b+4＝0，解得：a＝1；b＝3，

∴A（-1，0），B（0，-3），∵E为AD中点，∴xD=1，设D（1，t），

又∵DC∥AB，∴C（2，t-3），∴t=2t-6，∴t=6，∴k=6；

（2）∵由（1）知k=6，

∴反比例函数的解析式为，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，

∴设Q（0，y），P（，

①AB为边时：

如图1所示： 若ABPQ为平行四边形，则，

解得x=1，此时（1，6），（0，9）；

如图2所示；若ABQP为平行四边形，则，

解得x=-1，此时（-1，-6），（0，-9）； /p>

②如图3所示；当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，解得x=-1，∴（-1，-6），（0，3）；

故（1，6），（0，9）；；（-1，-6），（0，-9）；（-1，-6），（0，3）；

（3）连NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，

∴NT=NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，

在△BFN与△BHN中，∵BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，

∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，

四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，

而∠NTF=∠NFT=∠AHN，

所以，∠ATN+∠AHN=180°，

所以，四边形ATNH内角和为360°，

所以∠TNH=360°-180°-90°=90°．

∠ATH+∠AFN=135°．