Question

【题目】“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：

问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系　 　；

问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；

问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．

问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系 ．

Answer 1

【答案】(1) (2)38°(3) (4)

【解析】分析：（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根据（1）的关系式求出∠OCB﹣∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；

（3）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°－∠MAN①，∠B+2∠PCN=∠D+180°－2∠MAN②，由①和②即可得到结论；

（4）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN，∠D+∠DAN=∠B+∠BCO，即∠P+180°－∠GAN=∠B+180°－∠FCN①，∠D+180°-2∠GAN =∠B+180°－2∠FCN②，由①②可得结论．

详解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D．在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C．

∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）∵∠D=40°，∠B=36°，∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，∴∠OCB﹣∠OAD=4°．

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB．

又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；

（3）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°－∠MAN①，∠B+∠BCN=∠D+∠DAO=∠D+180°－∠MAB，∴∠B+2∠PCN=∠D+180°－2∠MAN②，由①和②得：∠D+∠B=2∠P-180°；

（4）根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN，∠D+∠DAN=∠B+∠BCO，

∴∠P+180°－∠GAN=∠B+180°－∠FCN①，∠D+180°-∠EAN=∠B+180°－∠FCO，∴∠D+180°-2∠GAN =∠B+180°－2∠FCN②

由①②得：2∠P-∠B=∠D．