Question

【题目】如图，已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上一点B，该二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2．

（1）求点B坐标；

（2）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

（3）设一次函数y=x+m的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD是以BD为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（0，2）；（2）y=0.5x2﹣2x+2；（3）P1（1，0）和P2（7.25，0）；

【解析】

（1）根据y=0.5x+m交x轴于点A，进而得出m的值，再利用与y轴交于点B，即可得出B点坐标；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2，进而求出即可；（3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．

（1）∵y=x+2交x轴于点A（﹣4，0），

∴0=×（﹣4）+m，

∴m=2，

与y轴交于点B，

∵x=0，

∴y=2

∴B点坐标为：（0，2），

（2）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2

∴可设二次函数y=a（x﹣2）2

把B（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；

（3）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点

由Rt△AOB∽Rt△BOP1

∴，

∴，

得：OP1=1，

∴P1（1，0），

（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，

将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：

D点坐标为：（5，4.5），

则AD=，

当D为直角顶点时

∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，

∴△ABO∽△AP2D，

∴， ，

解得：AP2=11.25，

则OP2=11.25﹣4=7.25，

故P2点坐标为（7.25，0）；

∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．