Question

【题目】已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．

（1）如图1，若AB=AC，AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为 ， ∠BMC=（用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC=（用α表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1．

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，

∴∠AED=∠ADE=α，

∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α，

同理可得：∠BAC=180°﹣2α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

∵ ，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠BDA=∠CEA，

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α

（2）BD=kCE；90°﹣ α
（3）90°+ 1 2 α
【解析】（2）如图2．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE= =90°﹣ α，同理可得：∠BAC=90°﹣ α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴BD=kCE；
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣ α．故答案为：BD=kCE，90°﹣ α；
（3）如右图．

∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE=∠AED= =90°﹣ α，同理可得：∠BAC=90°﹣ α，
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣ α+α=90°+ α．故答案为：90°+ α．
（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE；
②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=180°﹣2α；（2）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°﹣ α，则∠BAD=∠CAE，再由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，则根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证出△ABD∽△ACE，得出BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=90°﹣ α；（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°﹣ α，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90°+ α．