Question

【题目】对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；

第二步：再一次折叠，使点A落在MN的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；

第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．

（1）证明：∠ABE=30°；

（2）证明：四边形BFB′E为菱形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）根据点M是AB的中点判断出A′是EF的中点，然后判断出BA′垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A′BE=∠A′BF，根据翻折的性质可得∠ABE=∠A′BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证；

（2）根据翻折变换的性质可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明．

(1)∵对折AD与BC重合，折痕是MN，

∴点M是AB的中点，

∴A′是EF的中点，

∵∠BA′E=∠A=90°，

∴BA′垂直平分EF，

∴BE=BF，

∴∠A′BE=∠A′BF，

由翻折的性质,∠ABE=∠A′BE，

∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，

∴∠ABE= ×90°=30°；

(2)∵沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处，

∴BE=B′E,BF=B′F，

∵BE=BF，

∴BE=B′E=B′F=BF，

∴四边形BFB′E为菱形。