Question

【题目】如图，AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC。

（1）求证：BE⊥DE；

（2）H是直线CD上一动点（不与D重合），HI平分∠HBD交CD于点I。请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由。

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）当H在点D的左侧时，∠BHD＝2∠EBI；当H在点D的右侧时，∠BHD＝180°－2∠EBI；理由见解析

【解析】

(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到BE⊥DE；

(2)根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD；∠HBD＝2∠DBI，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠BHD，从而得解

（1）证明：过点E作EF∥AB

∴∠ABE＝∠BEF

又∵AB∥CD

∴∠ABD＋∠BDC＝180°，EF∥CD，

∴∠FED＝∠CDE

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，

∴∠ABE＝∠ADB，∠CDE＝∠BDC，

∴∠ABE＋∠CDE＝×180°＝90°

∴∠BEF＋∠FED＝90°，即∠BED＝90°

∴BE⊥DE

（2）①当H在点D的左侧时，∠BHD＝2∠EBI；

证明：∵AB∥CD

∴∠ABH＝∠BHD；

∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，

∴∠ABD＝2∠EBD；∠HBD＝2∠DBI；

∠ABH＝∠ABD－∠HBD＝2(∠EBD－∠DBI)＝2∠EBI；

∴∠BHD＝2∠EBI；

②当H在点D的右侧时，∠BHD＝180°－2∠EBI；

证明：∵AB∥CD

∴∠BHD＝∠1；

又∵∠1＋∠ABH＝180°；

∴∠1＋∠ABD＋∠DBH＝180°，

∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，

∴∠ABD＝2∠EBD；∠HBD＝2∠DBI；

∴∠1＋2∠EBD＋2∠DBI＝180°，

∴∠1＝180°－2(∠EBD＋∠DBI) ＝180°－2∠EBI，

即∠BHD＝180°－2∠EBI。