Question

【题目】正方形ABCD的边长为8，点P是边AD的中点，点E是正方形ABCD的边上一点，若是等腰三角形，则腰长为______．

Answer 1

【答案】5或或

【解析】

分情况讨论：当PB为腰时，若P为顶点，则E点和C点重合，求出PB长度即可；若B为顶点，则E点为CD中点；
当PB为底时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；

①由题意得出，证明∽，得出比例式，即可求出BE；②设，则，根据勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．

分情况讨论：
当PB为腰时，若P为顶点，则E点与C点重合，如图1所示：

四边形ABCD是正方形，
，，
是AD的中点，
，
根据勾股定理得：；
若B为顶点，则根据得，为CD中点，此时腰长；
当PB为底边时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；

当E在AB上时，如图2所示：

则，
，，
∽，
，即，
；

②当E在CD上时，如图3所示：

设，则，
根据勾股定理得：，，
，
解得：，
，
；
综上所述：腰长为：，或5，或；
故答案为：，或5，或．