Question

【题目】在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED．

（1）如图1，当BE=AE时，求证：BD=AE；

（2）当BE≠AE时，“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数理关系，若成立，请给予证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）AE=DB，理由见解析

【解析】

（1）由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，再根据ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再证出∠D=∠DEB，得出DB=BE，从而证出AE=DB；

（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE=EF，再证明三角形全等，得出DB=EF，证出AE=DB．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵AE=BE，△ABC是等边三角形

∴∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE=30°．

∵∠ABC=∠D+∠BED，

∴∠BED=30°，

∴∠D=∠BED，

∴BD=BE．

∴AE=DB．

（2）AE=DB；

理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形．

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF．

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF（AAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．