Question

【题目】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．

（1）说明：AP是⊙O的切线；
（2）若OC=CP，AB=6，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AO，AC（如图）．

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°
∵E是CD的中点，

∴CE=DE=AE．

∴∠ECA=∠EAC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵CD是⊙O的切线，

∴CD⊥OC．

∴∠ECA+∠OCA=90°．

∴∠EAC+∠OAC=90°．

∴OA⊥AP．

∵A是⊙O上一点，

∴AP是⊙O的切线

（2）解：由（1）知OA⊥AP．

在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，

∴sinP= ．

∴∠P=30°．

∴∠AOP=60°．

∵OC=OA，

∴∠ACO=60°．

在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，

∴ ．

又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，

∴CD= = = =4

【解析】（1）连接AO，AC．由直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=∠CAD=90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE=DE=AE．进而得出∠ECA=∠EAC，又由同圆的半径相等∠OAC=∠OCA．由圆的切线性质得出∠ECA+∠OCA=90°．由等量代换得出∠EAC+∠OAC=90°即可（2）由直角三角形的边之间的关系找出∠AOP=60°，进而得出∠ACO=60°，然后在在Rt△BAC中由锐角三角函数得出AC的长度，在Rt△ACD中再由锐角三角函数得出CD的长度。
【考点精析】通过灵活运用解直角三角形，掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．