Question

【题目】如图，二次函数 的图象与x轴交于点 A,B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．

（1）写出线段AC,BC的长度：AC= ， BC=；
（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；
（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH,AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由，并求出 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC= ,BC=
（2）解：设P（x, ），则有

= =

（3）解：过点P作PH⊥BC于H，

∵ ，

∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC；∴AC∥PH，

要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH=AC= ，

∴ =5，而 = = ，

所以不存在四边形ACPH为平行四边形

由△AKC∽△PHK，

∴ = （当x=2时，取到最大值）

【解析】（1）根据二次函数解析式写出A、B、C点的坐标，利用勾股定理即可得出AC、BC的长。
（2）求三角形的面积常用割补法，题解过程中，利用坐标系先进行补，在分割减法，即S = S Δ O C P + S Δ O B P S Δ O B C
（3）首先判定四边形是否存在，根据（2）求出PH长，和（1）中AC的长，得出对应边无法相等，所以四边形不存在，根据相似求出的值。