Question

【题目】如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．

（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△AEF，则AE＝ ；

（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；

（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）AE＝；（2）；（3）

【解析】（1）AE＝；………………2分

（2）如图②，设AE＝x，则CE＝4－x．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．

由折叠可知：AE＝EM＝x，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，

∵MF∥AC，∴∠AEF＝∠MFE．∴∠AEF＝∠AFE．

∴AE＝AF．∴AE＝EM＝MF＝AF，

∴四边形AEMF为菱形．………………4分

∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．………………5分

∴＝，即＝，解得x＝，即AE＝………………6分

（3）如图③，设AE＝y，则CE＝4－y．

由折叠可知：AE＝EN＝y，AF＝NF，

∵NF⊥AB，∴∠NFB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠NFB＝∠ACB．

且∠NBF＝∠ABC，∴△NBF ∽△ABC．………………7分

∴＝＝．即BF＝NF＝AF．由BF+ AF＝AB＝5，

解得：BF＝，NF＝，………………8分

∴BN＝，CN＝BN－BC＝－3＝．………………9分

在Rt△CEN中，由CN2+CE2＝EN2，∴()2+(4－y)2＝y2，

解得：y＝，即AE＝．