Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．

（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．

试题解析：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，

又∵AE=CG，AH=CF，

∴△AEH≌△CGF．

∴EH=GF．

在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，

即BE=DG，DH=BF．

又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，

∴△BEF≌△DGH．

∴GH=EF．

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．

设∠A=α，则∠D=180°-α．

∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．

∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，

∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．

∴∠DHG=∠DGH=．

∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是矩形．