Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．

（1）求证：∠AEB=∠ACF；

（2）求证：EF2BF22AC2．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（2）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案．

（1）证明：如图，

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAF=∠CAF

在△BAF和△CAF中

∴△BAF≌△CAF（SAS），

∴∠ABF=∠ACF

∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠AEB=∠ACF；

（2）证明：∵△BAF≌△CAF，

∴BF=CF

∵∠AGF=∠AEB+∠EAG

∠AGF=∠ACF+∠CFG且∠AEB=∠ACF，

∴∠CFG=∠EAG=90°，

∴EF+BF=EF+CF=EC

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠CAE=90°，AC=AE，

∴EC2=AC+AE=2AC

即EF+BF=2AC.