Question

【题目】平面直角坐标系 中， 是坐标原点。已知A(0, )，B(1,0)，C（6, ），有一抛物线恰好经过这三点.
（1）求该抛物线解析式；
（2）若抛物线交 轴的另一交点为D，那么抛物线上是否存在一点P，使得 ,若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：依题可设抛物线解析式为： y=ax2+bx+c(a≠0) ，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴ ，
∴，
∴该抛物线解析式为： y=x23x+ .

（2）解：设直线BC解析式为：y=kx+b，
又∵B(1,0)，C（6, ），
∴,
∴,
∴直线BC的函数解析式为： y=x.
①若点P在x轴上方，则 OP ∥BC，则OP的函数解析式为 y=x ，
∴,
解得 x=,
∴P1(,)，P2(,) .
②若点P在x轴下方，则OP的函数解析式为 y=x ，
∴,
解得 x=，
∴ P3(,)，P4(,) .
综上所述： P1(,)，P2(,) ， P3(,-)，P4(,).

【解析】（1）依题可设抛物线解析式为： y=ax2+bx+c(a≠0) ，将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，得到一个三元一次方程组，解之即可求出抛物线解析式.
（2）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B(1,0)，C（6, ）两点坐标代入，得到一个二元一次方程组，解之即可得到直线BC的解析式；再分两种情况讨论：①若点P在x轴上方，则 OP ∥BC，则OP的函数解析式为 y=x ，②若点P在x轴下方，则OP的函数解析式为 y=x ，分别将OP直线方程和抛物线联立解出P点坐标即可.
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法即可以解答此题．