Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，连结BC．点M是抛物线上A,C之间的一个动点，过点M作MN∥BC，分别交x轴、抛物线于D，N，过点M作EF⊥x轴，垂足为F，并交直线BC于点E，
（1）求点A,B,C的坐标.
（2）当点M恰好是EF的中点，求BD的长.
（3）连接DE,记△DEM,△BDE的面积分别为S1,S2 ，当BD=1时，请求S2-S1的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线 y=x2+2x+3 与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），
∴令y=0，即x2+2x+3 =0，
∴x1=-1,x2=3，
∴A（-1,0） ，B（3,0），
又∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0,3），
（2）解：设BC的函数解析式为y=kx+b，
∵ B（3,0）， C（0,3），

∴,
,
∴BC的函数解析式为：y=-x+3，
∵点M是抛物线上A,C之间的一个动点，
∴设 M(m,m2+2m+3) （-1m0），则 E(m,m+3)，F（m,0），
∴EF=-m+3，MF=m2+2m+3，
又∵M为EF中点，
∴ 2（m2+2m+3）=m+3 ，
∴ m1=3，m2=，
又∵-1m0，
∴m=，

∴F（-，0），
∴BF=3-（-）=，
又∵MD∥BC，
∴D为BF的中点，
∴ BD=BF=×=.
（3）解：由图形可知，D在B点左侧，当BD=1时，D点坐标为（2,0），
由（2）知BC的函数解析式为：y=-x+3，
又∵MD∥BC，
∴MD的函数解析式为： y=x+2 .
∴，
解得： x1=，x2=（舍去），
∴M (,) ，E (，) ，
∴ME=1，DF= ，EF= .
∴ S2S1=×1××1×= .

【解析】（1）根据抛物线 y=x2+2x+3 与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，分别令x=0，y=0即可求出A ，B，C坐标.
（2）由B、C的坐标用待定系数法即可求得直线BC的解析式，由点M是抛物线上A,C之间的一个动点，可设 M(m,m2+2m+3) （-1m0），则 E(m,m+3)，F（m,0），从而得到EF，MF的长，再由M为EF中点可得关于m的关系式，从而求出m，得出BF的长，再由MD∥BC，根据三角形中位线定理得出D为BF的中点，即BD=BF即可求得其值.
（3）由图形可知，D在B点左侧，当BD=1时，D点坐标为（2,0），由（2）知BC的函数解析式为：y=-x+3，根据MD∥BC得出MD的函数解析式为： y=x+2 ；再将MD解析式和抛物线联立求出M点坐标，从而得出E点坐标，由坐标得出ME，DF ，EF的长；再根据三角形面积公式得出S2S1值.
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和三角形的面积的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；三角形的面积=1/2×底×高才能正确解答此题．