Question

【题目】如图，BC为⊙O的直径，A为圆上一点，点F为 的中点，延长AB、AC，与过F点的切线交于D、E两点．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若BC：DF=4：3，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OF，

∵点F为 的中点，

∴ ，

∴∠BOF=∠COF，

∵BC为直径，

∴∠BOF+∠COF=180°，

∴∠BOF=∠COF=90°，

∵过F点的切线交于D、E两点，

∴OF⊥DE，

∴∠OFE=90°，

∴∠BOF=∠OFE，

∴BC∥DE

（2）解：过点B作BG⊥DE于点G，

∴四边形BGFO是正方形，

∴BG=OF=GF=OB，

∵BC：DF=4：3，

∴BG：DG=2：1，

由（1）可知，tan∠ABC=tan∠BDG= =2．

【解析】（1）连接OF，由题意，可得∠BOF=∠COF=90°，根据切线的性质，可得∠OFE=90°，利用平行线的判定，即可证明；（2）过点B作BG⊥DE于点G，可得四边形BGFO是正方形，由BC：DF=4：3，可得BG：DG=2：1，利用锐角三角函数即可求得tan∠ABC．
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理和解直角三角形，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．