【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；

（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；

（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；

（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由．

参考答案：

【答案】（1）BN=或；（2）；（3）；（4）．

【解析】

试题分析：（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；

（2）先得出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出，得出，即可得出结论；

（3）在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；

（4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出，证出，得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出，证出，即可得出结论．

试题解析：（1）①当MN为最大线段时，∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN===；

②当BN为最大线段时，∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN===；

综上所述：BN=或；

（2）∵FG是△ABC的中位线，∴FG∥BC，∴=1，∴点M、N分别是AD、AE的中点，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，∴，∴，∴，∴点M、N是线段FG的勾股分割点；

（3）作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE点垂直平分线，并截取CF=CA；

③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图所示：

（4）．理由如下：

设AM=a，BN=b，MN=c，∵H是DN的中点，∴DH=HN=，∵△MND、△BNE均为等边三角形，∴∠D=∠DNE=60°，在△DGH和△NEH中，∵∠D=∠DNE，DH=HN，∠DHG=∠NHE，∴△DGH≌△NEH（ASA），∴DG=EN=b，∴MG=c﹣b，∵GM∥EN，∴△AGM∽△AEN，∴，∴，∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，∴，∴，又∵，∴a=b，在△DGH和△CAF中，∵∠D=∠C，DG=CA，∠DGH=∠CAF，∴△DGH≌△CAF（ASA），∴，∵，∴，∴，∵，，∴．

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