Question

【题目】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，

∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，

∴∠OBC= ，∠OCB= ，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°，

∴∠BOC=90°，

∴BO⊥CO

（2）解：连接OF，则OF⊥BC，

∴Rt△BOF∽Rt△BCO，

∴ = ，

∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm，

∴BC= =10cm，

∴ = ，

∴BF=3.6cm，

∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，

∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，

∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．

∴CG=CF=6.4cm．

【解析】（1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；（2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据Rt△BOF∽Rt△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长．