Question

【题目】(1) 发现：

如图1，点是线段外一动点，且，．当点位于 时，线段的长取得最大值；最大值为 (用含，的式子表示)．

(2)应用：

如图2，点为线段外一动点，，，分别以，为边在外部作等边和等边，连接，．

①求证：；

②直接写出线段长的最大值．

(3)拓展：

如图3，在平面直角坐标系中，点，点，点为线段外一动点，，，，请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）线段的延长线上，；（2）①证明见解析；②3；③，（2-，）或（2-，-）．

【解析】

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；

（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，

故答案为：CB的延长线上，a+b；

（2）①证明: ∵是等边三角形.

∴，，

∵是等边三角形，

∴， ，

∴，

∴，

∴.

在与中，

∴（），

∴.即.

②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴最大值为BD+BC=AB+BC=3；.

（3）如图1，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=3，BN=AM，

∵A的坐标为（3，0），点B的坐标为（5，0），

∴OA=3，OB=5，

∴AB=2，

∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线上时，线段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=AP=3，

∴最大值为3+2；

如图2，

过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE=，

∴OE=BO-AB-AE=5-3-=2-，

∴P（2-，）．

如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2-，-）时，也满足条件．

综上所述，满足条件的点P坐标（2-，）或（2-，-），AM的最大值为3+2．