Question

【题目】如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD 的角平分线交 AD 于 E 点，且 E 在 AD 上，CE 交 BA 的延长线于 F 点．

（1）试问 BE 与 CF 互相垂直吗？若垂直，请说明理由；
（2）若 CD=3，AB=4，求 BC 的长 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：垂直，理由如下：
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE 与 CF 互相垂直．

（2）解：由（1）知∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
在△FBE 和△CBE 中，

∴△FBE≌△CBE（ASA），

∴BF=BC，EF=EC，
又∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
在△DCE和△AFE中，

∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，
∴BC=BF=AF+AB=CD+AB=3+4=7，

【解析】（1）垂直，理由如下：由两直线平行，同旁内角互补得出∠ABC+∠BCD=180°；又由角平分线定义得出∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
从而得出∠EBC+∠ECB=90°，根据三角形内角和定理得出∠CEB=90°，即BE 与 CF 互相垂直．
（2）由（1）知∠CEB=∠FEB=90°，根据ASA得△FBE≌△CBE，再由全等三角形的性质得出BF=BC，EF=EC；又由两直线平行，内错角相等，得到∠DCE=∠AFE，由ASA得△DCE≌△AFE，再根据全等三角形的性质得出DC=AF，由已知条件和等量代换求出BC的值.
【考点精析】关于本题考查的角的平分线和平行线的性质，需要了解从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补才能得出正确答案．