Question

【题目】在平面直角坐标系中，O(0，0)、B(a，b)，且a、b满足1﹣2a+a2+(b)2=0．

（1）求a，b的值；

（2）若点A在x轴正半轴上，且OA=2，在平面内有一动点Q(不在x轴上)，QO=m，QA=n，QB=p，且p2=m2+n2，求∠OQA的度数．

（3）阅读以下内容：对于实数a、b有(a﹣b)2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，

即a2+b2≥2ab．

利用以上知识，在（2）的条件下求△AOQ的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b；（2）∠OQA的度数为30°或150°；（3）当∠OQA=30°时，△AOQ的面积的最大值为2；当∠OQA=150°时，△AOQ的面积的最大值为2．

【解析】

（1）由题意根据完全平方式的非负性，即可求得a和b的值；

（2）根据题意易证△OAB为等边三角形，故可通过把△ABQ绕点A逆时针旋转60°得△AOC，把已知的QO＝m、QA＝n、QB＝p统一到△OCQ中，得到△OCQ是直角三角形，再加上旋转得到的∠AQC＝60°，即能求出∠OQA的度数；但由于不确定点Q的位置，故需分点Q在△OAB内部和点Q在△OAB外部两种情况讨论计算；

（3）由题意通过构造OQ边上的高AH求得△AOQ面积的表达式，根据条件给的不等式可知，当a＝b时，ab可取得最大值为a2+b2，即OQ＝AQ时，△AOQ取得最大值；根据勾股定理把AQ＝OQ求出，即求出面积最大值；由于在（2）的条件下不确定∠OQA的度数，故需分两种情况讨论计算．

解：（1）∵1﹣2a+a2+(b)2=0，

∴(1﹣a)2+(b)2=0，

∴1﹣a=0，b0，

∴a=1，b.

（2）∵OA=2即A(2，0)，B(1，)，

∴OB，AB，

∴OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠OAB=60°，

把△ABQ绕点A逆时针旋转60°得△AOC，连接CQ，

∴∠CAQ=∠OAB=60°，AC=AQ=n，OC=BQ=p，

∴△ACQ是等边三角形，

∴CQ=AQ=n，∠AQC=60°，

∵p2=m2+n2即OC2=OQ2+CQ2，

∴△OCQ是直角三角形，∠OQC=90°，

①若点Q在△OAB的外部，如图1，

则∠OQA=∠OQC﹣∠AQC=90°﹣60°=30°；

②若点Q在△OAB的内部，如图2，

则∠OQA=∠OQC+∠AQC=90°+60°=150°，

综上所述：∠OQA的度数为30°或150°．

（3）∵a2+b2≥2ab，

∴当a=b时，a2+b2=2ab成立，即此时ab取得最大值，

过点A作AH⊥OQ于H，如图3，

∴∠AHQ=90°，

∵∠AQH=30°，

∴AHAQn，

∴S△AOQOQAHmnmn，

∴当m=n时，S△AOQ取得最大值，

①当∠OQA=30°时，如图3．

∵OQ=AQ=n，QH，

∴OH=OQ﹣QH=nn，

∵OA=2，OA2=OH2+AH2，

∴(nn)2+(n)2=22，

解得：n2=4(2)，

∴S△AOQn2=2；

②当∠OQA=150°时，如图4，

∴OH=OQ+QH=nn，

∵OA=2，OA2=OH2+AH2，

∴(nn)2+(n)2=22，

解得：n2=4(2)，

∴S△AOQn2=2，

综上所述：当∠OQA=30°时，△AOQ的面积的最大值为2；

当∠OQA=150°时，△AOQ的面积的最大值为2．