Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；
（2）求∠CAD的正弦值；
（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），

∴ ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，顶点D的坐标为（1，4）

（2）解：如图所示，

在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，

∴C（0，3）

∵A（3，0），D（1，4），

∴CD= ，AC=3 ，AD=2 ，

∴CD2+AC2=AD2，

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，

∴sin∠ACD= = =

（3）解：∵直线CD经过C（0，3），D（1，4），

∴设可设直线CD为y=kx+b，则

，

解得 ，

∴直线CD为y=x+3，

设点P的坐标为（a，a+3），

①如图所示，当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E，则

PE=a+3，AE=3﹣a，

∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，

∴△ACD∽△AEP，

∴ = ，即 = ，

解得a=﹣ ，

∴a+3= ，

∴此时P的坐标为（﹣ ， ）；

②如图所示，当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，则

PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，

∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，

∴△ACD∽△AFP，

∴ = ，即 = ，

解得a=﹣6，

∴a+3=﹣3，

∴此时P的坐标为（﹣6，﹣3）；

综上所述，点P的坐标为

【解析】（1）根据二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），求得m和n的值即可；（2）根据A，C，D三点的坐标，求得CD= ，AC=3 ，AD=2 ，得到CD2+AC2=AD2 ， 根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，据此求得∠CAD的正弦值；（3）先求得直线CD为y=x+3，再设点P的坐标为（a，a+3），然后分两种情况进行讨论：当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E；当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，分别判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a的值即可．
【考点精析】掌握勾股定理的逆定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．