Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一点，DG∥AB，延长AB到E，使BE=GD，连接DE交BC于F．

(1)求证：GF=BF；

(2)若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a，b满足(a﹣7)2+b2﹣6b+9=0，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）由DG∥BE得到∠GDF=∠E，则可根据“AAS”判定△FDG≌△FEB，则GF=BF；
（2）利用配方法得（a-7）2+（b-3）2=0，则根据非负数的性质得到a-7=0，b-3=0，解得a=7，b=3，即BE=3，BC=7，所以DG=BE=3，由于DG∥AB，△ABC是等边三角形，则△CDG为等边三角形，所以CG=DG=3，可计算出BG=BC-CG=4，然后利用GF=BF可得到BF的长．

（1）证明：∵DG∥BE，
∴∠GDF=∠E，
在△FDG和△FEB中，，
∴△FDG≌△FEB（AAS），
∴GF=BF；
（2）∵（a-7）2+b2-6b+9=0，
∴（a-7）2+（b-3）2=0，
∴a-7=0，b-3=0，解得a=7，b=3，
∴BE=3，BC=7，
∴DG=BE=3，
∵DG∥AB，
∴△CDG为等边三角形，
∴CG=DG=3，
∴BG=BC-CG=4，
而GF=BF，
∴BF=BG═2．