Question

【题目】如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B(4，8).

(1)△AEC是等腰三角形吗?请证明；

(2)求点D的横坐标.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）D(-，).

【解析】

（1）由翻折可知∠BAC=∠DAC，由OC∥AB可得∠OCA=∠BAC，所以∠EAC=∠ACE，即可证明△AEC是等腰三角形；

(2) 首先过点D作DF⊥OA于F，由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长，然后等积求高法得DF的长，利用勾股定理得EF得长，即可得点D的横坐标．

⑴证明：由翻折可知，∠BAC=∠DAC，∵OC∥AB，∴∠OCA=∠BAC，

∴∠EAC=∠ACE，∴AE=CE，即△AEC是等腰三角形.

⑵

如图，过点D作DF⊥x轴于F，由(1)，令AE=CE=x，则OE=8-x，

在Rt△OEA中，由勾股定理，(8-x)2+42=x2，

解得x=5，∴AE=CE=5，OE=DE=3，在Rt△CDE中，由等积求高法，得DF=，

利用勾股定理，EF=，于是OF=3+=，DF=，

∴D(-，).