Question

【题目】（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接 CD．

（1）①求的值；②求∠ACD的度数．

（2）拓展探究

如图 2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B 的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图 3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P 是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD．若 PA=5，请直接写出CD的长．

Answer 1

【答案】（1）1，45°；（2）∠ACD=∠B， =k；（3）.

【解析】

（1）根据已知条件推出△ABP≌△ACD，根据全等三角形的性质得到PB=CD，∠ACD=∠B=45°，于是得到

根据已知条件得到△ABC∽△APD，由相似三角形的性质得到，得到 ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质得到结论；

过A作AH⊥BC 于 H，得到△ABH 是等腰直角三角形，求得 AH=BH=4， 根据勾股定理得到根据相似三角形的性质得到 ，推出△ABP∽△CAD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）∵∠A=90°，

∴AB=AC，

∴∠B=45°，

∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，

∴AP=AD，

∴∠BAP=∠CAD，

在△ABP 与△ACD 中，

AB=AC, ∠BAP=∠CAD，AP=AD,

∴△ABP≌△ACD，

∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，

∴=1，

（2）

∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴∠ACD=∠B，

（3）过 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，

∴△ABH 是等腰直角三角形，

∵

∴AH=BH=4，

∵BC=12，

∴CH=8，

∴

∴PH==3，

∴PB=1，

∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∴,

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴即

∴

过 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，

∴△ABH 是等腰直角三角形，

∵

∴AH=BH=4，

∵BC=12，

∴CH=8，

∴

∴PH==3，

∴PB=7，

∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∴，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴即

∴