Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A坐标为（4，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK+KN最小，并求出点K的坐标；

（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣ x2+x+4；（2）点K的坐标为（，0）；（3）当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；（4）存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，3）或（1﹣，3）．

【解析】试题分析：（1）把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线解析；

（2）可求得点C关于x轴的对称点C′的坐标，连接C′N交x轴于点K，再求得直线C′K的解析式，可求得K点坐标；

（3）过点E作EG⊥x轴于点G，设Q（m，0），可表示出AB、BQ，再证明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；

（4）分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．

试题解析：（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），

∴，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+x+4；

（2）由（1）可求得抛物线顶点为N（1， ），

如图1，作点C关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求，

设直线C′N的解析式为y=kx+b，把C′、N点坐标代入可得 ，解得 ，

∴直线C′N的解析式为y=x-4 ，

令y=0，解得x= ，

∴点K的坐标为（，0）；

（3）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图2，

由﹣ x2+x+4=0，得x1=﹣2，x2=4，

∴点B的坐标为（﹣2，0），AB=6，BQ=m+2，

又∵QE∥AC，∴△BQE≌△BAC，

∴ ，即 ，解得EG= ；

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=（CO-EG）·BQ=（m+2）（4-）

= =-（m-1）2+3 ．

又∵﹣2≤m≤4，

∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；

（4）存在．在△ODF中，

（ⅰ）若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），

∴AD=OD=DF=2．

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°．

∴∠DFA=∠OAC=45°．

∴∠ADF=90°．

此时，点F的坐标为（2，2）．

由﹣ x2+x+4=2，得x1=1+ ，x2=1﹣．

此时，点P的坐标为：P1（1+，2）或P2（1﹣，2）；

（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M．

由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，

∴AM=3．

∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3．

∴F（1，3）．

由﹣ x2+x+4=3，得x1=1+，x2=1﹣．

此时，点P的坐标为：P3（1+，3）或P4（1﹣，3）；

（ⅲ）若OD=OF，

∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．

∴AC=4．

∴点O到AC的距离为2．

而OF=OD=2＜2，与OF≥2矛盾．

∴在AC上不存在点使得OF=OD=2．

此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，3）或（1﹣，3）．