Question

【题目】定义：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)．如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．

(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标．

(2)如图②，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1， )是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式．

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．

Answer 1

【答案】(1)(0，1)(2) y＝-x(x-4)＝-x2＋x(3)满足条件的点Q有3个，分别为(3， )或(2＋，－ )或(2－，－ )．

【解析】试题分析:(1)根据抛物线勾股点的定义可以求解,(2)作PG⊥x轴,由点P的坐标求得:AG=1,PG=,由三角函数可得: ,可知∠PAG=60°从而求得AB=4,即B(4,0),待定系数法可求解得,(3)由且两个三角形同底,可知点Q到x轴的距离为,即可求解.

(1)抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为(0，1)．

(2)如图，作PG⊥x轴于点G.∵点P的坐标为(1，)，∴AG＝1，PG＝，∴PA＝＝＝2.∵tan∠PAB＝＝，∴∠PAG＝60°.在Rt△PAB中，AB＝＝＝4，∴点B的坐标为(4，0)．

设y＝ax(x－4)，将点P(1，)代入得a＝－，∴y＝－x(x－4)＝－x2＋x.

(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为，则有－x2＋x＝，解得x1＝3，x2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(3，)．

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－，则有－x2＋x＝－，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴点Q的坐标为(2＋，－)或(2－，－)．

综上所述，满足条件的点Q有3个，分别为(3，)或(2＋，－)或(2－，－)．