Question

【题目】在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC= ，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；

（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1 ， 求线段EF1长度的最大值与最小值的差．

Answer 1

【答案】
（1）解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋转角相等），

∴∠B1CA1=∠AB1C，

∴BB1∥CA1；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF=CF，

∵cos∠ABC= ，AB=5，

∴BF=3，

∴BC=6，

∴B1C=BC=6，

∵CE⊥AB，

∴BE=B1E= ，

∴BB1= ，CE= ，

∴AB1= ，

∴△AB1C的面积为：

（2）解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，

此时在Rt△BFC中，CF= ，

∴CF1= ，

∴EF1的最小值为 ；

如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；

此时EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴线段EF1的最大值与最小值的差为

【解析】（1）①先依据等腰三角形的性质和旋转的性质可证明∠B1CA1=∠AB1C，最后，再依据平行线的性质进行证明即可；②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数的定义和三角形的面积公式进行计算即可；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，依据图形可得到EF取得最大值和最小值的条件，最后，再求得两条线段的差即可.