Question

【题目】探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=__________°；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①40°；②∠DCE=90°；③∠A =70°．

【解析】试题分析：(1)、连接AD并延长至点F，根据外角的性质得出∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，从而得出我们所需要的结论；(2)、①、根据第一题的结论得出答案；②、根据第一题的结论得出∠ADB+∠AEB=80°，然后根据∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A得出答案；③、根据题意得出∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，然后设∠A为x°，根据∠ABD+∠ACD=140°-x°得出答案.

试题解析：(1)、连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；

且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

(2)、①、由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC， 又因为∠A=50°，∠BXC=90°，

所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

②、由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；

而∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A， 代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③、∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A， ∵∠BG1C=77°， ∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD=140°-x° ∴（140-x）+x=77，x=70 ∴∠A为70°．