Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，

∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，

∵∠DEF=∠B，

∴∠BDE=∠CEF，

∴△BDE∽△CEF

（2）解：∵△BDE∽△CEF，

∴ ，

∵点E是BC的中点，

∴BE=CE，

∴ ，

∵∠DEF=∠B=∠C，

∴△DEF∽△CEF，

∴∠DFE=∠CFE，

∴FE平分∠DFC．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．