Question

【题目】如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC= ，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．

（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，

∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，

∴∠B′AD=∠EDC′，

∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD= ，

∴DB′= = ，

∴△ADB′′∽△DEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴x= ﹣2．

∴CE= ﹣2．

（2）

解：如图2中，

∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，

∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，

∴∠B′AF=∠B′FA=45°，

∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，

∴DF=FG，

在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，

∴AF= AB′= ，

∴DF=DG= ﹣ ，

∴S△DFG= （ ﹣ ）2= ﹣

（3）

解：如图3中，点C的运动路径的长为 的长，

在Rt△ADC中，∵tan∠DAC= = ，

∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，

∵∠C′AD=∠DAC=30°，

∴∠CAC′=60°，

∴ 的长= = π．

【解析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得 = ，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为 的长，求出圆心角、半径即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和圆心角、弧、弦的关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．