Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO=AB=5．
设⊙M的半径为r，则MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，
∵AB=10，
∴8﹣r+6﹣r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6﹣r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，
∴OM== ．
故答案是： ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内切圆与内心的相关知识，掌握三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．