Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）直线ED与⊙O相切．理由见解析．（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理，由得到 ，∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；

（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；

（3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE-CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD进行计算．

试题解析：（1）证明：∵

∴∠BAD=∠ACD，

∵∠DCE=∠BAD，

∴∠ACD=∠DCE，

即CD平分∠ACE；

（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：

连结OD，如图，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

而∠OCD=∠DCE，

∴∠DCE=∠ODC，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，

∴OD=EH，

∵CE=1，AC=4，

∴OC=OD=2，

∴CH=HE-CE=2-1=1，

在Rt△OHC中，∠HOC=30°，

∴∠COD=60°，

∴阴影部分的面积=S扇形OCD-S△OCD

=

=．