Question

【题目】阅读下面材料：

小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：

如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞3的解集．

小明同学的思路如下：

先根据绝对值的定义，求出|x|恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：

点A左边的点表示的数的绝对值大于3；

点A，B之间的点表示的数的绝对值小于3；

点B右边的点表示的数的绝对值大于3．

因此，小明得出结论绝对值不等式|x|＞3的解集为：x＜-3或x＞3．

参照小明的思路，解决下列问题：

（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．

①|x|＞1的解集是 ．

②|x|＜2.5的解集是 ．

（2）求绝对值不等式2|x-3|+5＞13的解集．

（3）直接写出不等式x2＞4的解集是 .

Answer 1

【答案】（1）①x＞1或x＜-1;②-2.5＜x＜2.5;（2）x＞7或x＜-1；（3）x＞2或x＜-2．

【解析】

（1）先根据绝对值的定义，当|x|=1时，x=1或-1.再根据题意即可得；
（2）将2|x-3|+5＞13化为|x-3|＞4后，求出当|x-3|=4时，x=7或-1根据以上结论即可得；
（3）将x2＞4化为|x|＞2,再根据题意即可得．

解：（1）①根据绝对值的定义，当|x|=1时，x=1或-1,分界点把数轴分为三部分：

点-1左边的点表示的数的绝对值大于1；

点-1，1之间的点表示的数的绝对值小于1；

点1右边的点表示的数的绝对值大于1．

因此，绝对值不等式|x|＞1的解集是 x＞1或x＜-1．

②根据绝对值的定义，当|x|=2.5时，x=2.5或-2.5,分界点把数轴分为三部分：

点-2.5左边的点表示的数的绝对值大于2.5；

点-2.5，2.5之间的点表示的数的绝对值小于2.5；

点2.5右边的点表示的数的绝对值大于2.5．

因此，绝对值不等式|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5．

故答案是：①x＞1或x＜-1；②-2.5＜x＜2.5；

（2）2|x-3|+5＞13

∴2|x-3|＞8

∴|x-3|＞4

根据绝对值的定义，当|x-3|=4时，x=7或-1,分界点把数轴分为三部分：

点-1左边的点表示的数与3的差的绝对值大于4；

点-1，7之间的点表示的数与3的差的绝对值小于4；

点7右边的点表示的数与3的差的绝对值大于4

∴|x-3|＞4的解集为x＞7或x＜-1；

∴2|x-3|+5＞13的解集为x＞7或x＜-1；

（3）∵x2＞4

∴|x|＞2

根据绝对值的定义，当|x|=2时，x=2或-2,分界点把数轴分为三部分：

点-2左边的点表示的数的绝对值大于2；

点-2，2之间的点表示的数的绝对值小于2；

点2右边的点表示的数的绝对值大于2．

因此，绝对值不等式|x|＞2的解集是 x＞2或x＜-2．

∴不等式x2＞4的解集是 x＞2或x＜-2．

故答案是：x＞2或x＜-2．