Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点O是AC中点，AC＝2AB，延长AB到G，使BG＝AB，连接GO并延长，分别交BC于点E，交AD于点F．

（1）求证：△ABC≌△AOG；

（2）若ABCD为矩形，则四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】（1）由O是AC的中点，AC＝2AB，BG＝AB，得到AO=AB，AC=AG．由∠BAC＝∠OAG ，即可得到结论；

（2）由O是AC的中点，得到AO=OC．由平行四边形的性质得到AF∥EC，由平行线的性质得到∠DAO＝∠BCO，进而得到△AOF≌△COE， AF＝CE，得到四边形AECF是平行四边形．由△ABC≌△AOG，得到∠AOG＝∠ABC＝90°，即可得到AECF是菱形．

（1）∵O是AC的中点，AC＝2AB，BG＝AB，∴AO=AB，AC=AG．

又∵∠BAC＝∠OAG ，∴△ABC≌△AOG；

（2）AECF是菱形．理由如下：

∵O是AC的中点，∴AO=OC．

∵平行四边形ABCD，∴AF∥EC，∴∠DAO＝∠BCO．

又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．

由（1）知△ABC≌△AOG，∴∠AOG＝∠ABC．

又∵ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，∴∠AOG＝90°，∴AECF是菱形．