【题目】将正方形 ABCD （如图 1）作如下划分：

第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；

第2次划分：将图2 左上角正方形AEMH再作划分，得图3，则图3 中共有9个正方形；

（1）若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有 个正方形；

（2）继续划分下去，第几次划分后能有805个正方形?写出计算过程．

（3）按这种方法能否将正方形ABCD划分成有2015个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．

（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．

计算 ．（ 直接写出答案即可）

参考答案：

【答案】（1）401；（2）第 201 次划分后能有 805个正方形；（3）不能；（4）

【解析】

（1）由第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，可得规律：第n次可得（4n＋1）个正方形，继而求得答案；

（2）由规律可得方程4n＋1＝805，继而求得答案；

（3）由规律可得4n＋1＝2015，又由n为整数，可求得答案；

（4）此题可看作上面几何体面积问题，即可求得答案．

（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，

∴第n次可得（4n＋1）个正方形，

∴第100次可得正方形：4×100＋1＝401（个）；

故答案为：401；

（2）根据题意得：4n＋1＝805，

解得：n＝201；

∴第201次划分后能有805个正方形；

（3）不能，

∵4n＋1＝2015，

解得：n＝503.5，

∴n不是整数，

∴不能将正方形性ABCD划分成有2015个正方形的图形；

（4）结合题意得：

＝

＝

＝．

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