Question

【题目】已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，连接BD（如图a），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动的距离为x，BP＝y．

（1）求证：∠A＝2∠CBD；

（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图（b）中的折线MNQ所示，试求CD的长．

（3）在（2）的情况下，点P从A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5﹣或或10或9+．

【解析】

(1)根据等腰三角形两个底角相等可以进一步证明∠A＝2∠CBD,

(2) 根据题意描述，可以确定AB=5，AB+BC＝8,再通过作DE⊥AB于来构造直角三角形可以求出CD长度.

(3) 根据题目描述分情况来讨论哪个点为等腰三角形顶点，进而列方程进行求出P点位置情况.

（1）证明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，

∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，

∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，

∴∠A＝2∠CBD；

（2）解：由图（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，

∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图所示：

则DE＝BC＝3，CD＝BE，

∵AD＝AB＝5，

∴AE＝＝4，

∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；

（3）解：可能；理由如下：

分情况讨论：

①点P在AB边上时，

当PD＝PB时，P与A重合，x＝0；

当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，

∴AP＝3，

∴x＝3；

当BP＝BD＝＝时，AP＝5﹣，

即x＝5﹣；

②点P在BC上时，存在PD＝PB，

此时，x＝5+＝；

③点P在AD上时，

当BP＝BD＝时，x＝5+3+1+2＝10；

当DP＝DB＝时，x＝5+3+1+＝9+；

综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5﹣或或10或9+．