Question

【题目】如图，△ABC 中，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD与CE交于点O，BE=CD。

（1）△ABC是等腰三角形吗？为什么？

（2）点O在∠A的平分线上吗？为什么？

Answer 1

【答案】证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）先利用HL证明Rt△BCD与Rt△CBE全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边的性质可得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；

（2）根据（1）中Rt△BCD≌Rt△CBE，然后利用全等三角形对应边相等可得BD=CE，对应角相等可得∠BCE=∠CBD，然后利用等角对等边可得BO=CO，相减可得OD=OE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形

理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，∴△BCD与△CBE是直角三角形，在Rt△BCD与Rt△CBE中，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．

（2）点O在∠A的平分线上．

理由如下：∵Rt△BCD≌Rt△CBE，∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，∴BO=CO，

∴BD-BO=CE-CO，即OD=OE，∵BD、CE是△ABC的高，

∴点O在∠A的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．