Question

【题目】基本图形：在RT△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．

探索：（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；

（2）连接DE，如图②，试探索线段DE，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论；

联想：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=7，CD=2，则AD的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）结论：．证明见解析；（2）结论：．证明见解析；（3）

【解析】

（1）说明△BAD≌OCAE（SAS）即可解答；

（2）先说明△BAD≌△CAE，可得BD=CE、∠ACE=∠B，进一步可得∠DCE=90°，最后利用勾股定理即可解答；

（3）作AE⊥AD.使AE=AD，连接CE，DE.由△BAD≌△CAE（SAS），推出BD=CE=7，由∠ADC=45°，∠EDA=45°，可得∠EDC=90°，最后利用勾股定理解答即可

解：（1）结论：，理由如下：

如图①中，

∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

即：；

（2）结论：．理由如下：连接CE，

由（1）得，，

∴，，

∴，

∴．

∴

（3）作AE⊥4D，使4E=AD，连接CE，DE.

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE=7，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，

∴∠EDC=90°。

∴DE= =√8.

∵∠DAE=90°

∴,即

∴AD=.

故答案为．