Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）28．

【解析】试题分析：（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；

（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．

试题解析：（1）∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，

∴AE=CE，DE=EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵D、E分别为AB，AC边上的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∵∠ACB=90°，

∴∠AED=90°，

∴DF⊥AC，

∴四边形ADCF是菱形；

（2）在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，

∴AB=10，

∵D是AB边上的中点，

∴AD=5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴AF=FC=AD=5，

∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．