Question

【题目】如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．

（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

Answer 1

【答案】
（1）解：横向甬道的面积为： x=150x（m2）

（2）解：横向甬道的面积为： x=150x（m2）；

甬道总面积为150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，

依题意：310x﹣2x2= × ×80，

整理得：x2﹣155x+750=0，

x1=5，x2=150（不符合题意，舍去），

∴甬道的宽为5米；

（3）解：∵花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，

∴等腰梯形的面积为： （120+180）×80=12000，

∵甬道总面积为S=310x﹣2x2，

绿化总面积为12000﹣S，

花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：

∴y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，

=5.7x﹣0.02S+240，

=5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，

=0.04x2﹣0.5x+240，

当x=﹣ =6.25时，y的值最小．

∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，

∴当x=6米时，总费用最少．

即最少费用为：0.04×62﹣3+240=238.44万元．

【解析】（1）先求出横向甬道的长即梯形的中位线长，即可求出其面积。
（2）根据题意先求出甬道总面积，再根据甬道总面积=梯形面积。建立方程求解即可。
（3）分别求出等腰梯形的面积、甬道总面积、绿化总面积，再根据花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用，建立函数关系式，再求出顶点坐标，根据设计要求甬道的宽不能超过6米，求出当x=6时的函数值即可。
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)，还要掌握梯形的中位线(梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半)的相关知识才是答题的关键．