Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，连接CE．

（1）求证：△PCE是等腰直角三角形；
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，判断△PCE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，

在△PDA和△PDC中，

，

∴△PDA≌△PDC，

∴PA=PC，∠3=∠1，

∵PA=PE，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，

∴∠FPC=EDF=90°，

∴△PEC是等腰直角三角形

（2）

解：如图2中，结论：△PCE是等边三角形．

理由：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，∠ADC=∠ABC=120°，

在△PDA和△PDC中，

，

∴△PDA≌△PDC，

∴PA=PC，∠3=∠1，

∵PA=PE，

∴∠2=∠3，PA═PE=PC，

∴∠1=∠2，

∵∠DFE=∠PFC，

∴∠EPC=∠EDC，

∵∠ADC=120°，

∴∠EDC=60°，

∴∠EPC=60°，∵PE=PC，

∴△PEC是等边三角形

【解析】（1）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形；（2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，PA═PE=PC，推出∠1=∠2，由∠DFE=∠PFC，推出∠EPC=∠EDC，由∠ADC=120°，推出∠EDC=60°，推出∠EPC=60°，由PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形；
【考点精析】掌握等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．