Question

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，

∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠BAO，

又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

在△AOB和△BFD中，

，

∴△AOB≌△BFD（AAS）

∴DF=BO=1，BF=AO=2，

∴D的坐标是（3，1），

根据题意，得a=﹣ ，c=0，且a×32+b×3+c=1，

∴b= ，

∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；

②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，

∴C（ ，1），

∵C、D两点的纵坐标都为1，

∴CD∥x轴，

∴∠BCD=∠ABO，

∴∠BAO与∠BCD互余，

要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，

设P的坐标为（x，﹣ x2+ x），

（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，

则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x= ，

∴P点的坐标为（ ， ）；

（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3

则tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，

∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴﹣ x2+ x=﹣ ，

∴P点的坐标为（ ，﹣ ）；

综上，在抛物线上是否存在点P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB与∠BCD互余

（2）解：如图3，

∵D（3，1），E（1，1），

抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．

分两种情况：

①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．

（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；

（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；

②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，

（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；

（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．

根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，

∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）

综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ ．

【解析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先依据AAS证明△AOB≌△BFD，从而可得到D的坐标，然后将点D的坐标代入到抛物线的解析式求解即可；②先证得CD∥x轴，故此可得到∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，-x2+x），分为P在x轴的上方，P在x轴的下方两种情况画出图形，过P作PG⊥x轴于点G，然后依据锐角三角函数的定义列比例式求解即可；
（2）如果使得符合条件的Q点的个数是4个，那么当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜-1，接下来，解关于a的不等式即可.