Question

【题目】如图所示，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点.

（1）求证：；

（2）若，，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1） 首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90；然后根据AB是⊙O的直径得：∠ACB=90°，据此判断出∠ACD=∠BCD=∠A，即可推得△ADC∽△CDB.
（2）首先设CD为4t，则AB=·4t=6t，OC=OB=·4t=3t，用t表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得：，据此求出CB的值，即可求出⊙O半径．

（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90 o

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90o

∴∠1＝∠2

又OA＝OC，∴∠1＝∠A＝∠2

∵ ∠D＝∠D，

∴ △ADC∽△CDB

（2）解：设CD＝4t，则AB＝CD＝6t，∴OA＝OB＝3t

在Rt△OCD中，OC＝OA＝OB＝3t，CD＝4t

∴，∴

由（1）知△ADC∽△CDB，∴，∴CB＝1

∴，

∴⊙O的半径为