Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝9，直线MN平分平行四边形ABCD的面积，分别交边AD、BC于点M、N，若△BMN是以MN为腰的等腰三角形，则BN＝_____．

Answer 1

【答案】或5

【解析】

如图，过点C作CE⊥AD于E，过点N作NF⊥AD于F，过点B作BG⊥AD，与DA的延长线交于点G．然后分2种情况：①当MN＝MB；②当MN＝BN时进行分析即可．

解：如图，过点C作CE⊥AD于E，过点N作NF⊥AD于F，过点B作BG⊥AD，与DA的延长线交于点G．

∵直线MN平分平行四边形ABCD的面积，

∴AM＝CN，

设AM＝CN＝x，则EF＝x，BN＝9﹣x

∵∠ABC＝45°，AB＝4，

∴GB＝GA＝4，DE＝4，

∴MF＝5﹣2x，

在Rt△BGM中，BM2＝42+（4+x）2，

在Rt△NFM中，MN2＝42+（5﹣2x）2，

∵△BMN是以MN为腰的等腰三角形，

∴①当MN＝MB时，易证Rt△MFN≌Rt△MGB（HL），

MF＝MG，

即5﹣2x＝x+4，

解得x＝，即CN＝，

∴BN＝BC﹣CN＝9﹣＝

②当MN＝BN时，MN2＝BN2，

∴42+（5﹣2x）2＝（9﹣x）2，

解得x1＝4，x2＝﹣（不符合题意，舍去），

MN2＝42+（5﹣2x）2＝16+（5﹣2×4）2＝25，

∴MN＝5，

∴BN＝5

故答案为 或5．