Question

【题目】如图（1）在正方形中，点是边上一动点，连接，作，重足为，交于.

（1）求证：；

（2）连接，若平分，如图（2），求证：点是中点：

（3）在（2）的条件下，连接，如图（3），求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析

【解析】

（1）证明△BAF≌△ADE(ASA)即可解决问题；

（2） 过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M、N，先根据AAS证得△BAG≌△AND，推出AG=DN，再由角平分线的性质可知DM＝DN，即DM=AG，再证△AFG≌△DFM，推出AF＝DF＝DE＝AD＝CD，即点E是CD的中点 ；

（3）延长AE，BC交于点P，由(2)知DE=CD,证得△ADE≌△PCE，推出AE＝PE，再根据中位线判定定理即可得到CB＝PC，利用直角三角形斜边中线的性质可证明CG＝BP＝BC=CP ，即为所证 ．

（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o

∴∠2＋∠3＝90o

又 ∵ BF⊥AE ∴∠1＋∠2＝90o ∴∠1＝∠3

在△BAF与△ADE中

∴ △BAF≌△ADE

∴AF＝DE

（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M、N，

由（1）得∠1＝∠3 ， ∠BGA＝∠AND＝90o AB＝AD

∴ △BAG≌△ADN ∴AG＝DN

又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE

∴ DM＝DN

∴ DM＝AG

又∠AFG＝∠DFM ， ∠AGF＝∠DMF

∴ △AFG≌△DFM

∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD

即点E是CD的中点.

（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CE，

∵∠ADE＝∠ECP＝90o，∠DEA＝∠CEP

∴ △ADE≌△PCE

∴AE＝PE

又∵CE∥AB ∴ BC＝PC

在Rt△BGP中，BC＝PC

∴CG＝BP＝BC

∴CG＝CD